□を使った式が問うているのは、たし算ではない

1たし算の顔をしたひき算

□ + 5 = 12 を解くには、12 − 5 を計算することになります。 式に書いてあるのはたし算、やるのはひき算——これが逆算です。 書かれている記号と、使う操作が一致しない。

たし算とひき算が互いの裏返しだと分かっていれば、自然に出てきます。 分かっていなければ、12 と 5 を足して 17 と 書いてしまう。まちがえかたを見れば、どちらなのかが分かります。

2□ の場所で、使う計算が変わる

「たし算なら、ひき算で戻す」と覚えておけば済みそうに見えます。ところが □ が 左にあるか右にあるかで、使う計算が入れ替わる式があります。四則と □ の位置の組み合わせは 8通り。並べると、こうなります。

• □ + 5 = 12 → 12 − 5　／　7 + □ = 12 → 12 − 7
• □ − 5 = 7 → 7 + 5　／　12 − □ = 7 → 12 − 7
• □ × 3 = 6 → 6 ÷ 3　／　2 × □ = 6 → 6 ÷ 2
• □ ÷ 3 = 2 → 2 × 3　／　6 ÷ □ = 2 → 6 ÷ 2

たし算とかけ算は、□ がどちらにあっても逆の計算で戻せます。入れ替えても答えが同じ （7 + 5 と 5 + 7）だからです。 ひき算とわり算は、そうはいきません。

12 − □ = 7 は、ひき算で解きます（12 − 7）。 6 ÷ □ = 2 も、わり算で解きます（6 ÷ 2）。 「逆の計算で戻す」を規則として覚えた子は、ここで 12 + 7 = 19、 6 × 2 = 12 と書きます。8通りのうち、この2つだけが規則の外にあります。

この2つを解けるかどうかは、規則を覚えたかではなく、式が言っている量の関係を 思い浮かべられるかで決まります。「12 からいくつか取ったら 7 残った。取ったのは？」と 言い直せれば、ひき算だと分かります。つまずいたときに効くのも、この言い直しです。

3「=」を、どう読んでいるか

もう1つ、こちらのほうが根が深い問題があります。 3 + 4 = □ ばかりを解いていると、子どもは「=」を 「ここから先に答えを書く」という合図として覚えます。左から右へ読んで、 最後に答えが来る。ずっとそうだったからです。

この読みかたのままだと □ + 5 = 12 は形が崩れて見えます。 答えを書く場所が左にあるからです。さらに 8 + 4 = □ + 5 のような式を見せると、 12 と書く子が出てきます——「=」の右に答えを置いた、という動きです。

これは想像の話ではありません。この 8 + 4 = □ + 5 は、米国の Falkner・Levi・Carpenter が1999年に小学1〜6年生へ出した問題そのもので、 正解の 7 のほかに、12（左を計算して止まる）と 17（見えている数を全部足す）という答えが出たと報告されています。 どちらも「=」を合図として読んだ結果です。

「=」は、左右が同じ量であることを言っているだけです。 向きも、書く順序も含んでいません。□ を使った式は、この読み替えができているかを、 たし算の顔をして聞いてきます。

4覚えているだけでは、解けない

九九やたし算は、繰り返せば答えごと覚えられます。それでいいのですが、 覚えただけなのか、関係が分かっているのかは、順方向の問題では見分けがつきません。 どちらの子も同じ速さで正解します。

□ を入れた瞬間に分かれます。関係が分かっていれば、覚えた同じ事実から引き出せる。 覚えているだけなら、そこで止まる。同じ材料を、別の角度から確かめていることになります。

5これは代数の入り口でもある

□ + 5 = 12 の □ を x に置き換えると、 x + 5 = 12 になります。やっていることは、すでに方程式です。 中学で記号が変わるだけで、考えかたは小学校の中学年で一度通っている。

英語圏では missing number problems、 日本では「□を使った式」と呼ばれ、どちらも小学校の中学年あたりで扱われます。 名前も記号も違いますが、「=」を関係として読ませるという狙いは同じです。

6練習の順序

2の節の8通りは、難しさがそろっていません。順方向の計算がすらすら出るようになってから、 次の順に進めると、どこでつまずいたかが分かれて見えます。

1. たし算の □（左でも右でも同じ）。□ + 5 = 12
2. ひき算で、□ が左にあるもの。□ − 5 = 7（たし算で戻す）
3. かけ算の □、わり算で □ が左にあるもの。九九を逆から引く
4. 最後に、規則の外にある2つ。12 − □ = 7 と 6 ÷ □ = 2

4番目で止まる子に、規則を足しても解決しません。「12 から取ったら 7 残った」と 量の話に戻すほうが早く届きます。

7まとめて出さない

このドリルでは □ は左にも右にも来ます（□ + 5 = 12 と 7 + □ = 12）。2の節で見たとおり、同じ式でも必要な操作が変わるからです。 42種類どれでも □ を選べて、9,417問の式それぞれに 左と右の2通りがあるので、□ の式は18,834通りになります。 規則の外にある 12 − □ = 7 と 6 ÷ □ = 2 の形も含まれます。

ただし、出題を「おまかせ」にしているときは出しません。頭の使いかたが違うものを 混ぜると、速く解くことも、つまずきを読み取ることも難しくなるからです。 逆算は、種類を選んで練習するときのために置いてあります。 分けかたの全体は42種類の一覧にあります。